申し訳ありませんが、現状ではboardで入金済ステータスに変更してもfreeeの方には反映されません。
freeeで、外部システム（board）から入金済みかどうかの情報を取得するAPIが用意されていないため、対応できない状況となってます。
APIが追加されましたら、対応を検討したいと考えております。
関連ヘルプ
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boardで入金済みにした場合、freeeでも入金済みになりますか？
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